LEY DE LOS SENOS
En cualquier triangulo,
las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
A/sen A = b/sen B =c/senC
En los cálculos se miden ángulos
en grados no en radiales
Aplicar primero la ley de
los senos cuando se conozca un lado y dos ángulos cualesquiera ( AAL y ALA).El
tercer ángulo será entonces el suplemento de las suma de los dos ángulos
conocidos.
Cuando es AAL se hallan
los dos lados.
Cuando es LLA puede no
haber solución, una o dos soluciones.
Si se conocen las longitudes
a y b de dos lados de un triángulo y la amplitud de <A, el ángulo opuesto al
lado a. Para empezar, suponemos que < A es agudo .Uno de sus vértices B estará
en el semieje positivo de las x, y el tercer vértice C, estará en el primer
cuadrante .b sen A es la distancia de C al eje x. Puesto que se conoce a como
arco de longitud a y con centro en C.
Hay 4 posibilidades:
1.-Ningún triangulo.
2.-Un triángulo único.
3.-Dos triángulos (legítimos)
4.-Un triángulo legítimo y
otro ilegitimo.
LEY DE LOS COSENOS
Afirma: En cualquier triangulo
ABC, cuyos lados tienen longitudes a, b y c
c²=a²+b²-2ª cos C
DEMOSTRACIÓN.
Para triángulos acutángulos
c²= (b-d)²+h²
=b²-2bd+d²+h²
=b²-2ba cos C +a²
=a²+b²-2ab cos C
Para triángulos obtusángulos
c²= (b+d)²+h²
=b²+2bd+d²+h²
=b²+2ba cos (π-C)+a²
=a²+b²-2ab
cos C
Si
se observa que si <C es un ángulo recto, cos C=0, por lo que la fórmula de
la ley de los cosenos se reduce al teorema de Pitágoras.
La
ley abarca tres lados y un ángulo del triángulo. Por lo tanto se puede usar en
el caso LAL para obtener el tercer lado y en el LLL para obtener un ángulo.
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